Démonstration de la Loi de Betz

Si nous considérons le vent amont, qui se déplace à une vitesse V1, nous pouvons dire que pendant 1 seconde, le volume d'air déplacé est égal à la surface de la section du tube (= surface balayée par les pales = S) multiplié par la vitesse V1 :

 

Volume = S.V1

 

Pour passer du volume à la masse, utilisons la masse volumique de l'air, Φ exprimé en kg/m3. La masse d'air en amont de l'éolienne est donc égale en 1 seconde à :


m = Φ.Volume


Remplaçons le volume par sa formule trouver précédemment :


m = Φ. S.V1


L'énergie cinétique contenue en amont (E1) de l'éolienne est donc égale à :

L'énergie cinétique contenue dans la même masse de vent mais ralentie à la vitesse V2 (E2) est égale à :

L'énergie cinétique perdue est donc celle qui a été transformée en énergie mécanique : la rotation des pales du rotor. Elle est donc égale à la différence entre l'énergie cinétique en amont (E1) et l'énergie cinétique ralentie à la vitesse V2 (E2) :

 

Em= E1-E2

 

Supposons maintenant que la vitesse moyenne du vent traversant la surface balayée par le rotor est égale à la moyenne de la vitesse moyenne du vent en amont de l'éolienne (V1), et de sa vitesse ralentie après le passage à travers le plan de rotor (V2) , soit (V1+V2 )/2. (Betz fait une preuve de cette supposition dans son livre.)

Remplaçons cette égalité dans celle de la masse :

 

Transposons cette expression de la masse dans l'expression de l'énergie captée par le rotor, nous pouvons alors écrire :

Cette formule est donc la valeur d'énergie captée par le rotor en fonction des vitesses en amont et en aval de l'éolienne. Pour comparer l'énergie en aval de l'éolienne à l'énergie captée par le rotor, on peut s'intressé à Em/E1 :

On peut donc tracer la courbe ci dessous Em/E1 en fonction de V2/V1 :

Le maximum de la courbe est atteint en 0.592 soit 59.2%. Ce qui signifie que l'énergie Em captée par le rotor ne pourra pas dépasser 59.2% de l'énergie E1 du vent en aval.